第52章 我！陆时羡！宝刀未老

第一题是一道代数题，an是一道多项式之和，求证：当正整数n≥2时，a（n+1）＜an。

        刚看见这题的时候，陆时羡还有些没有思路，于是一下子就顿在那里了。

        毕竟纯粹的代数题，非常考验人的逻辑联系思维能力。

        难道连第一道证明题都做不出来？这已经是最简单的了。

        陆时羡忽然紧张起来，如果连第一题都做不出来，绝对是对他后面题目解答的一个巨大打击。

        他轻吐一口气，慢慢迫使自己平静下来。

        越是紧张越不能着急。

        陆时羡再次审题，忽然发现自己陷入了一个误区，证明这种比大小的题目，何必将其分别代入后再比呢？

        他只需要转换一下思维方式。

        a与b比大小也可以转换成a与b比差或者a与b比商。

        如果a-b最后的结果大于零，或者a/b的结果大于1，那就可以说明a大于b.

        想到这，陆时羡的眼睛越来越亮。

        他在草稿纸上飞快地验算，对于an式，可以利用乘法分配律将n+1单独分离出来。

        再得出对任意的正整数n≥2，an-a（n+1）最后的简化式。

        最后证明简化式大于零。

        故a（n+1）＜an。

        此题得证。

        将这道题解决，陆时羡长松一口气，开始看下一题。

        第二题是一道平面解析几何。

        题目大意是对勾函数和一条直线得到的两个交点，然后求交点在对勾函数上两条切线的交点轨迹是多少？

        不得不说，如果逻辑思维能力不够，光是看题目就足够让你看晕了。

        不过说起来，这种题还是陆时羡的强项，他在数学里最擅长的就是将图形转化成代数。

        无非就是求交点的坐标。

        根据给出的条件联立方程组，由题意知，该方程在(0，+∞)上有两个相异的实根x1、x2，故k≠1，且Δ（1）式=1+4(k?1)＞0，两个实根之和（2）式与之积（3）式都大于零。

        由此可以得出直线的斜率k的取值范围，最后对对勾函数进行求导

        化简得到直线l1和l2的方程（4）式和（5）式

        （4）式-（5）式得xp的函数表达式（6）式

        将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2

        (4)式+(5)式得yp的函数表达式（7）式

        将(2)(3)的组合式代入(7)式得2yp=(3?2k)xp+2，而xp=2，得yp=4?2k

        根据斜率k的取值范围2＜yp＜2.5

        即点p的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）

        陆时羡写完这题，考试时间已经只剩下四十分钟了。

        第二道大题还真的不难，思路很简单，就是计算过程有些复杂，同时也比较费时间，光这一个题目就花了他几十分钟。

        来不及吐槽，陆时羡赶紧望向第三大题，

        设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)。

        求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：

        （1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)=fi(x)；

        （2）对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。

        题目看起来非常简洁，可是陆时羡知道最后的解答过程是题目的数倍，可能还不止。

        时间不多，陆时羡决定先解决第一题。

        陆时羡用屁股想都明白，凡是跟圆周率π挨上边的基本上就跟周期函数挂钩了。

        他直接策反了敌方f(x)两员大将的g(x)与h(x)，且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的x∈r，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x)。

        然后分别代入四条函数fi(x)，i=1，2，3，4。得到四条函数f1(x)、f2(x)、f2(x)、f4(x)的表达式。

        故fi(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈r，fi(x+π)=fi(x)。

        这个倒是简单，极有限次数的验证只需要分别代入验证就行了，不费脑子。

        陆时羡觉得只要次数在10以下，他都能接受，无非就是费点笔芯而已。

        毕竟总比看半天题目无从下手的强。

        不过此题好像还是给了参赛者一些余地，因为陆时羡发现第二问与第一问的关联很大。

        将刚刚第一问得到的代数式代入f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x

        接下来，分情况讨论就完事了。

        因为f1(x)、f2(x)、f2(x)、f4(x)因为x的取值范围，从而存在6种情况。

        其中有两种已经无需讨论，已经是从实招来。

        还有四种情况依然负隅抵抗，陆时羡只好使出假设杀威棒。

        最后它们终于被屈打成招，也因此证明了所有六种情况完全成立。

        综上所述，此式成立得证！

        陆时羡长吐一口气，再用余光看向周围时，诺大的教室居然只剩下他一个人。

        他忽然心里一慌，时间还没结束啊，不会吧？

        自己花这么大力气证明的题目，别人这么快就做完了？

        是我老了提不动屠龙刀了，还是现在的小朋友太厉害？

        他一抬头，就看着监考员直盯盯地望着他。

        什么意思？是我让你失望了吗？

        对不起我道歉，我承认我真的是个数学渣渣。

        他颇为忧郁地起身交卷，然后收拾行李，准备离开这个伤心地。

        可没想到当他离开的时候，背后传来监考员的赞叹声。

        “哎呦，不错哦！这个考场的人早就放弃提前走了，只有你还在默默坚持。”

        陆时羡：???？

        “不管对错，你能做完，也不愧我盯你一个人盯了一个小时了。”

        陆时羡：ε?(?＞灬＜)?з

        陆时羡本来低潮的心情又渐渐回升起来。

        这意思好像是我还算可以，宝刀未老啊！


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