番外篇——霍奇猜想

　　霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。它在霍奇的着述的一个结果中出现，他在1930至1940年间通过包含额外的结构丰富了德拉姆上同调的表述，这种结构出现于代数簇的情况（但不仅限于这种情况）。

　　二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。

　　这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。

　　不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。

　　数学意义可以预见的是，与阿蒂亚-辛格指标定理一样，霍奇猜想的解决将在数学三大分支即分析、拓扑、代数几何之间找到某种基本的内在联系。

　　物理意义上，霍奇猜想与广义相对论、量子纠缠和庞加莱猜想在更深的层次上有可能融为一体。对它的深刻认知，有助于了解宇宙中最深邃奇妙的物质构成。

　　比起黎曼猜想，哥德巴赫猜想这俩有最基础的数学知识就能看懂问题的猜想。霍奇猜想光是理解就需要高数基础，这玩意儿简直是拓扑学上空的一朵乌云。

　　拓扑学基本上是研究如何使物体变形的。首先，我们设一个空间X是一个球面（二维的）。如果我们从球面上的任何一个环（比如黑色的那个）开始，我们可以将它滑动到一个点（黑点）。当我们可以这样做的时候，我们把这个环称为“等于0”，因为这个环可以变为一个点。

　　对于这个球面上的任何一个环，我们都可以将它滑到一个点，所以这个变形等价的环的集合为0。我们用下式表示这种情况

　　需要注意的一件重要的事情是，开始的环并不一定是一个“平滑的循环”。它可以是任意的形状，只要它是一个闭环即可。下标1表示研究的环是一维的（在二维平面中）。

　　让我们增加一点难度，看看环面（也是二维的）。任何环绕中心孔的闭环都可以缩小到中间的环上（上图红色圈）。严格地证明并不容易，因为我还没有给出真正的定义，但是如果你仔细想想，你应该能够说服自己，环面只有以上这三种情况。

　　所以，唯一的非零元素是由这两个环产生的。

　　它是第一个同调群。如果一个环是[A]，另一个环是[B]，我们可以用有理数作为系数对它们求和，如：如果我们称这些一维的环为1环，那么我们就称k维的对应环为k-环。准确地定义它们有点奇怪，因为我们仍然希望在更高的维度中有“成为一个环”的概念。

　　为了感受一下，你可以想象一个3d球体

　　如果你有一些二维的小块在里面，你总是可以把它缩小到一个点。从图上很难分辨，但你应该注意到这是在三维球体的内部。在之前的例子中，我们必须在二维球面上。

　　k-环的情况用下式表示：

　　由于所有的1-环都会缩到球面上的一点，因此：

　　所有的2-环也会缩到一点，因此：

　　在某种意义上，H的维数k将告诉你在空间X中有多少个（n-k）维孔，其中n是X的维数。H_1是二维的，因为它有两个“孔”，一个绕着环面的“管”，另一个绕着中心孔。

　　几何可以表示很多不同的东西，但在本文中，我们用的是“代数几何”。如果你学过线性代数，你应该对这个概念很熟悉。线性代数研究的是线性方程组的零集。你会得到非常简单的东西，比如平面和子空间。

　　回想一下，线性代数中的技巧包括在思考“图像”（比如零空间、值域空间、平面的交点）和实际计算的“代数”之间来回转换。

　　线性代数在某种意义上是“完全解决了”，但如果你让你的方程中有不同指数，那它们就是多项式。这就是代数几何：在多项式零集的几何和处理这些方程的代数运算之间进行转换。

　　在本文中，一个光滑代数簇（简化为“簇”）是一个几何空间X，由多项式的零集给出，得到的空间是“光滑的“，就像你们在微积分中学到的那样。

　　二维球面由二次方程给出。圆环面是由三次方程给出的椭圆曲线。希望你们理解了这个奇怪的术语。椭圆曲线是一个二维环面。

　　因为我们处理的是复数，所以“实”维数总是偶数。如果你考虑复平面，它看起来像个笑话。

　　但它只是�6�7。代数几何学家用复维来称呼事物，所以一维曲线有2个实维，而二维曲面有4个实维。

　　我们需要的最后一个术语是子簇。你们可以想象，X的一个子簇是由多项式方程零点集给出的一个子集，因此也是一个簇。

　　这是使霍奇猜想有趣的关键思想：从拓扑学家的观点来看，实际上没有什么多样性。

　　作为多项式集合的零集是非常有限的。拓扑上的东西可能会很疯狂，很奇怪且很晦涩。如果你从X的一个子簇开始，然后像我们上面做的那样对它进行任意变形，你最终得到的将不再是一个子簇。

　　另外，请注意，一个子簇是通过取多项式零点集并与X相交而形成的。这本质上是一个“全局”的东西。拓扑上变形的形状在某种意义上是一个“局部”的东西。

　　所以如果这两个不同的数学分支之间有很好的联系，我们应该感到惊讶。事实证明霍奇猜想在低维空间中是正确的。这是由Lefschetz在1924年证明的，而霍奇猜想是1950年提出来的。在过去的几年里，也有一些其他的维度被证明，但都是在非常强大的额外假设下。

　　你可以想象有人做了一个天真的猜想，然后有人指出实际上子簇都是霍奇类。然后有人说，我想知道是不是所有的霍奇类都是代数的。

　　然后在1961年，Atiyah和Hirzebruch证明了积分版本是错误的。于是人们说，我想知道我们是否可以用Q代替Z，如果这是真的。这就是我们今天所处的处境。

　　与黎曼假说不同，霍奇猜想似乎是一项正在进行中的工作，在经过几次改进后陷入了困境。我们甚至不知道当X是4维且由一个多项式方程给出时它是否成立。霍奇猜想的正确版本是：每一个霍奇类都是代数的。换句话说，我们可以选任何一个霍奇的类，不管它有多怪异，我们都可以把它变形成一个子簇。


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